Question

如果337×N的平方=1的平方+2的平方-3的平方+…+337的平方，则N=_____。

我认为规律是这样：337×N的平方=1的平方+2的平方-3的平方+4的平方+5的平方-6的平方+…+337的平方

Answer 1

你可能是忙中出错了，请你认真核查原题。若原题是：
337N^2＝1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2＋6^2＋······＋337^2，则N＝＿＿＿＿。
则方法如下：
∵1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2＋6^2＋······＋337^2＝337×338×（2×337＋1）/6，
∴N^2＝338×（2×337＋1）/6＝169×675/3＝13^2×225＝13^2×15^2＝（13×15）^2
∴N＝13×15＝195。

现在给出 1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2＋6^2＋······＋n^2＝n（n＋1）（2n＋1）/6 的证明。
∵（a＋1）^3＝a^3＋3a^2＋3a＋1
∴（a＋1）^3－a^3＝3a^2＋3a＋1
依次令a＝1、2、3、4、5、······、n，依次可得：
2^3－1^3＝3×1^2＋3×1＋1
3^3－2^3＝3×2^2＋3×2＋1
4^3－3^3＝3×3^2＋3×3＋1
5^3－4^3＝3×4^2＋3×4＋1
······
（n＋1）^3－n^3＝3n^2＋3n＋1
将上述n个式子相加，得：
（n＋1）^3－1＝3（1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2＋······＋n^2）＋3（1＋2＋3＋4＋······＋n）＋n
∴3（1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2＋······＋n^2）
＝（n＋1）^3－1－3（1＋2＋3＋4＋······＋n）－n
＝（n＋1）^3－3（n＋1）n/2－（n＋1）＝（n＋1）［（n＋1）^2－3n/2－1］
＝（n＋1）（n^2＋2n＋1－3n/2－1）＝n（n＋1）（n＋2－3/2）＝n（n＋1）（2n＋1）/2
∴1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2＋······＋n^2＝n（n＋1）（2n＋1）/6。

下面证明：337N^2＝1^2＋2^2－3^2＋4^2＋5^2－6^2＋······－336^2＋337^2是不成立的。
∵1^2＋2^2－3^2＋4^2＋5^2－6^2＋······－336^2＋337^2
＝1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋5^2＋6^2＋······＋337^2
　－2（3^2＋6^2＋9^2＋······＋336^2）
＝337×338×（2×337＋1）/6－2×3^2（1^2＋2^2＋3^2＋······＋112^2）
＝337×338×（2×337＋1）/6－2×3^2×112×113×（2×112＋1）/6
∵337是一个素数，而2×3^2×112×113×（2×112＋1）中的每个因数都不是337的整数倍，
∴337不能整除2×3^2×112×113×（2×112＋1），而337能整除337×338×（2×337＋1），
∴此时N不可能是整数。

Answer 2

先求1的平方+2的平方一直到337的平方，再减去2乘以3的平方加6的平方再加9的平方一直到336的平方。
其中1的平方加2的平方一直到N的平方等于N乘以（N+1）乘以（2N+1）