Question

已知函数f(x)=x^2+ax+a/x,x属于(1,无穷大),且a<1

已知函数f(x)=x^2+ax+a/x,x属于(1,无穷大),且a<1 （1）判断f(x)的单调性并证明（2）若m满足f(3m)>f(5-2m），试确定m的取值范围：（3）若函数g(x)=xf(x)对任意x属于[2，5]时，g(x)+2x+3/2>0恒成立，求a的取值范围。
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Answer 1

1）a<=0时
设x1>x2>1,则
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[x1+x2-a/(x1x2)+a]
故只看x1+x2-a/(x1x2)+a得符号
x1+x2-a/(x1x2)+a>=3倍3次根(-a)+a>=0
解得 -3根3<=a<=0
此时f(x1)>=f(x2),f(x)递增
a>0时
f'(x)=(2x^3+ax^2-a)/x^2
定义域x>1知道f'>0，f(x)递增
综上-3根3<=a<1，f(x)递增
当a<-3根3时
令h(x)=2x^3+ax^2-a,
h'=2x(3x+a)=0，有两根，可见h(x)=0有三个实数根，
x=-a/3>根3>1 (x>1)，是极小值
h(1)=2>0,h(-a/3)=a(a^2-27)/27<0,h(0)=-a>0,h(-1)=-2<0
h(-a)=-a^3-a>0
可见在(-1,0) (1,-a/3) (-a/3,-a)中h(x)=0各有一个根
设x>1的根分别是x1<x2，则
（1,x1),(x2,正无穷）时h(x)>0,f'>0 f(x)递增
(x1,x2)时,h(x)<0，f'<0 f(x)递减
故综上可得
-3根3<=a<1，f(x)递增
a<-3根3,f(x)先增后减再增
2）

Answer 2

解：设在x∈[1,+∞)上任取两点x1，x2，且x1>x2>=1
f(x1)-f(x2)=[(x1)^2+ax1+a]/x1-[(x2)^2+ax2+a]/x2
f(x1)-f(x2)={x2[(x1)^2+ax1+a]-x1[(x2)^2+ax2+a]}/x1x2
f(x1)-f(x2)=[x2(x1)^2-x1(x2)^2+ax2-ax1]/x1x2
f(x1)-f(x2)=[x1x2(x1-x2)-a(x1-x2)]/x1x2
f(x1)-f(x2)=[(x1-x2)(x1x2-a)]/x1x2
又因为x1>x2>=1，且a<1，所以x1x2>a>0,所以上式为正，那么原函数在区间x∈[1,+∞)单调递增，
第二问，因为这是一个增函数所以，
3m>5-2m
5-2m>=1
m>1
m<=2
所以,1<m<=2
第三问，因为g(x)=0
所以 x^2+ax+a+|x^2-1|+(k-a)x-a=0
x^2+kx+|x^2-1|=0
当0<x<1时，
x^2+kx-x^2+1=0
kx+1=0 (不能取)
那么只有当1<=x<2时，才行，

Answer 3

（1）对f(x)求导数得f(x)'=2x+a-a/(x^2),因为a<1，取a=-10，x=2时，f(x)'=-3.5
x=5时，f(x)'=0.4
由此此函数非单调函数，与a值有关。