求解高中函数集合题
已知集合{1,2,3……100}的两个子集A、B满足:A与B的元素个数相同,且A∩B为空集,若n∈A时,总有2n+2∈B,则集合A∪B的元素个数最多是?...
已知集合{1,2,3……100}的两个子集A、B满足:A与B的元素个数相同,且A∩B为空集,若n∈A时,总有2n+2∈B ,则集合A∪B的元素个数最多是?
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最多66个
若24到49属于A,则神桐50至100的偶数属于B满足要求,此时A∪亏知B已销瞎消有52个元素;集合A取1到10的数时,集合B取4到22的偶数,由于A∩B=∅,∴4,6,8∉A,此时A∪B中将增加14个元素,∴A∪B中元素个数最多有52+14=66个
先证|A∪B|≤66,只须证|A|≤33,为此只须证若A是{1,2,…,49}的任一个34元子集,则必存在n∈A,使得2n+2∈A.证明如下:
将{1,2,…,49}分成如下33个集合:{1,4},{3,8},{5,12},…,{23,48}共12个;{2,6},{10,22},{14,30},{18,38}共4个;{25},{27},{29},…,{49}共13个;{26},{34},{42},{46}共4个.由于A是{1,2,…,49}的34元子集,从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A,即存在n∈A,使得2n+2∈A.
如取A={1,3,5,…,23,2,10,14,18,25,27,29,…,49,26,34,42,46},
B={2n+2|n∈A},则A、B满足题设且|A∪B|≤66.
以上是标准解答。
关于这题的思路可以这样想:
A中元素≤49
(1,4,10,22,46) 取3弃2
(2,6,14,30)
(3,8,18,38) 取2弃2
(5,12,26)
……
(9,20,42) 取2弃1
(11,24)
……
(23,48) 取1弃1
共弃2+2*2+1*3+1*7=16
∴|A|=49-16=33
若24到49属于A,则神桐50至100的偶数属于B满足要求,此时A∪亏知B已销瞎消有52个元素;集合A取1到10的数时,集合B取4到22的偶数,由于A∩B=∅,∴4,6,8∉A,此时A∪B中将增加14个元素,∴A∪B中元素个数最多有52+14=66个
先证|A∪B|≤66,只须证|A|≤33,为此只须证若A是{1,2,…,49}的任一个34元子集,则必存在n∈A,使得2n+2∈A.证明如下:
将{1,2,…,49}分成如下33个集合:{1,4},{3,8},{5,12},…,{23,48}共12个;{2,6},{10,22},{14,30},{18,38}共4个;{25},{27},{29},…,{49}共13个;{26},{34},{42},{46}共4个.由于A是{1,2,…,49}的34元子集,从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A,即存在n∈A,使得2n+2∈A.
如取A={1,3,5,…,23,2,10,14,18,25,27,29,…,49,26,34,42,46},
B={2n+2|n∈A},则A、B满足题设且|A∪B|≤66.
以上是标准解答。
关于这题的思路可以这样想:
A中元素≤49
(1,4,10,22,46) 取3弃2
(2,6,14,30)
(3,8,18,38) 取2弃2
(5,12,26)
……
(9,20,42) 取2弃1
(11,24)
……
(23,48) 取1弃1
共弃2+2*2+1*3+1*7=16
∴|A|=49-16=33
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经纤塌分析最多时候A={1,2,3,5,7,9...49},B={4,6,8...50,52,54,56...100},告竖中所以A并B最多有75个元素袜山。
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有题铅尺意可嫌正知:
A={1,2,3,5,7,9,10,11,13,14,15,17,18,19,21,23,25,26,27,29,31,33,34,35,37,39,41,42,43,45,46,47,49,}
B={4,6,8,12,16,20,22,24,28,30,32,36,38,40,44,48,52,54,56,60,64,68,70,72,76,80,84,86,88,92,94,96,100}
所芹激悔以A∩B=66个元素
A={1,2,3,5,7,9,10,11,13,14,15,17,18,19,21,23,25,26,27,29,31,33,34,35,37,39,41,42,43,45,46,47,49,}
B={4,6,8,12,16,20,22,24,28,30,32,36,38,40,44,48,52,54,56,60,64,68,70,72,76,80,84,86,88,92,94,96,100}
所芹激悔以A∩B=66个元素
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