Question

关于行列式的几个题目

1求证.平面上三条不同直线 ax+by+c=0， bx+cy+a=0, cx+ay+b=0

交于一点的充要条件是 a+b+c=0（有关克莱姆法则）
2.设f(x)=C0+C1x+C2x^2+……+Cnx^n ， 用克莱姆法则证明: 如果f(x)有n+1个互不相同的根则f(x)是零多项式

3.计算下列行列式。

(1)

|0 a b a |

|a 0 a b |

|b a 0 a |

|a b b a |

2)

|1 2 3 … n |

|2 3 4 … 1 |

|3 4 5 … 2 |

|… … … … … |

|n 1 2 … (n-1) |

（答案有，求过程。。）

9月份将成为大一新生
不求最快答案，但求最好答案，最好有一些解题思路（有加分哦）

Answer 1

3(2)
1 2 3 ... n-1 n
2 3 4 ... n 1
3 4 5 ... 1 2
... ...
n-1 n 1... n-3 n-2
n 1 2 ... n-2 n-1

c1+c2+...+cn (所有列加到第1列)
n(n+1)/2 2 3 ... n-1 n
n(n+1)/2 3 4 ... n 1
n(n+1)/2 4 5 ... 1 2
... ...
n(n+1)/2 n 1 ... n-3 n-2
n(n+1)/2 1 2 ... n-2 n-1

ri-r(i-1), i=n,n-1,...,2 (从下到上,下一行减上一行)
n(n+1)/2 2 3 ... n-1 n
0 1 1 ... 1 1-n
0 1 1 ... 1-n 1
... ...
0 1 1-n ... 1 1
0 1-n 1 ... 1 1

按第1列展开, 行列式 = n(n+1)/2 *
1 1 ... 1 1-n
1 1 ... 1-n 1
... ... ...
1 1-n ... 1 1
1-n 1 ... 1 1

c1+c2+...+c(n-1) (所有列加到第1列)
-1 1 ... 1 1-n
-1 1 ...1-n 1
... ... ...
-1 1-n ...1 1
-1 1 ... 1 1

ci+c1, i=2,3,...,n-1 (所有列加第1列)
-1 0 ... 0 -n
-1 0 ...-n 0
... ... ...
-1 -n ... 0 0
-1 0 ... 0 0

= n(n+1)/2 * (-1)^(n-1)*n^(n-2)*(-1)^[(n-1)(n-2)/2]

= (-1)^[n(n-1)/2] * [n^n+n^(n-1)]/2.

建议你分开提问, 多个题目放一起把人吓跑了 ^_^
1. 这个是考研题目, 需要技巧
2. 这个简单, 由f(x)有n+1 个不同的根, 代入f(x), 看其构成的行列式,不等于0
3(1). 这个不难, 不过第4行出现2个b, 是不是有误.

追问

3.3(1). 这个不难, 不过第4行出现2个b, 是不是有误.
书上是2个b，能不能麻烦这位高手再算算？
还有第一题（三直线那里）能详细说下思路吗？ 是按照有关克莱姆法则的，不算把三个式子加起来提公因式那个。
再拜~

追答

因为你的题目都不是很简单, 建议你分开提问, 我可以帮你解答