Question

设a,b是非负实数,求证a^3+b^3≥√(ab)·(a^2+b^2)

Answer 1

a^3＋b^3－√ab(a^2＋b^2)
＝a^2√a(√a－√b)＋b^2√b(√b－√a)
＝(√a-√b)[(√a)5－(√b)5]
当 a≥b 时， a≥ b，从而(√a)5≥(√b)5
得(√a-√b)[(√a)5－(√b)5]≥0；
当 a<b 时， √a<√ b，从而(√a)5<(√b)5， 得(√a-√b)[(√a)5－(√b)5]>0
所以 a^3＋b^3≥ √ab(a^2＋b^2)．

Answer 2

a^3+b^3
=(a+b)(a^2-ab+b^2)
≥2√(ab)·(a^2-ab+b^2)
=√(ab)·(a^2+b^2+a^2+b^2-2ab)
≥√(ab)·(a^2+b^2)