设a,b是非负实数,求证a^3+b^3≥√(ab)·(a^2+b^2)
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a^3+b^3-√ab(a^2+b^2)
=a^2√a(√a-√b)+b^2√b(√b-√a)
=(√a-√b)[(√a)5-(√b)5]
当 a≥b 时, a≥ b,从而(√a)5≥(√b)5
得(√a-√b)[(√a)5-(√b)5]≥0;
当 a<b 时, √a<√ b,从而(√a)5<(√b)5, 得(√a-√b)[(√a)5-(√b)5]>0
所以 a^3+b^3≥ √ab(a^2+b^2).
=a^2√a(√a-√b)+b^2√b(√b-√a)
=(√a-√b)[(√a)5-(√b)5]
当 a≥b 时, a≥ b,从而(√a)5≥(√b)5
得(√a-√b)[(√a)5-(√b)5]≥0;
当 a<b 时, √a<√ b,从而(√a)5<(√b)5, 得(√a-√b)[(√a)5-(√b)5]>0
所以 a^3+b^3≥ √ab(a^2+b^2).
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