Question

如图1，已知Rt△ABC,∠A=90°，且AB=AC，D为BC的中点，E,F分别在AB,AC上，且ED⊥DF于D点，若BE=12，CF=5，

△DEF的面积。

Answer 1

连接AD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD=BD=CD，且△ABD与△ACD都是等腰直角三角形；
注意到∠EDF=∠ADC=90°，∴∠ADE=∠CDF，另有∠DAB=∠DCA=45°，∴△DAE≌△DCF，得AE=CF=5，以及DE=DF；从而AB=AE+BE=CF+BE=5+12=17。
过D作DG⊥AB，垂足为G，那么DG=AG=AB/2=17/2=8.5， GE=AG-AE=8.5-5=3.5，
在rt△DGE中，DE²=DG²+GS²=8.5²+3.5²=84.5，
∵DE=DF，DE⊥DF，∴△DEF的面积为DE²/2=84.5/2=42.25。

Answer 2

∠A=90°, AB=AC =>∠B=∠C=45°设∠EDB=a，我们有
∠FDC=90°-a
∠DEB=135°-a
∠DFC=45°+a
根据正弦定理
DE:sin45°=DB:sin(135°-a)=BE:sina
DE=DB/(cosa-sina)=BE*sin45°/sina (1)
DF:sin45°=CD:sin(45°+a)=CF:sin(90°-a)=CF:cosa
DF=CD/(cosa+sina)=CF*sin45°/cosa (2)
(1):(2)
=>(cosa+sina)/(cosa-sina)=cosa/sina
=>cosasina+sinasina=cosacosa-cosasina
=> sin2a=cos2a
=>2a=45°
DE*DF=BE*CF*sin(45°)^2/(sinacosa)=BE*CF/sin2a=12*5/sin45°=60根号2
△DEF的面积=DE*DF/2=30根号2