Question

函数的有界性和和无穷大问题?

函数y=x*cosx在(-OO,+OO)内是否有界?
这个函数是否为x->+OO(x趋向于正无穷大)时的无穷大?
为什么?
谢谢!
我想问下各位高手你们答复中的无穷以及Pi等数学符号是怎么打上去的?
谢谢.

Answer 1

楼上解答有误!

函数y=x*cosx在(-∞,+∞)内无界.由以下事实即知:
取x=2kπ,k为整数,则y=2kπ*cos2kπ=2kπ.

x→+∞时,y=x*cosx不是无穷大.由以下事实即知:
取x=2kπ+π/2,k为整数,则y=(2kπ+π/2)*cos(2kπ+π/2)=0.

附带说一下:"有界函数与无穷小的乘积是无穷小"是对的,但"有界函数与无穷大的乘积仍是无穷大"是错的.

Answer 2

·函数y=x*cosx在(-∞,+∞)内无界。
可用有界函数和极限相关定义证明。
实际上，当x→∞时，
可取x=2kπ或 2kπ+π,k∈Z
则y = x*cosx =2kπ*cos2kπ=2kπ
即y无界。

·但是当x→∞时 y=x*cosx不是无穷大；
可用极限定义证明。
实际上，当x→∞时，
可取x=2kπ+π/2或 2kπ-π/2，k∈Z
则y = x*cosx =(2kπ+π/2)*cos(2kπ+π/2)=0
即不存在X>0,使当|x|>X时，有|f(x)|>M。

呵呵，是的。书上没有第二个结论。多谢百了居士兄弟的指点。