Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中,点E.F分别是AB.CD的中点,CE.AF与对角线BD分别相交于点G.H

(1)求证：DH=HG=BG
(2)如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形

Answer 1

⑴ 由题易得AF∥EC，即HF∥GC，又F为DC中点，所以HF为ΔDGC的中位线，所以H为DG中点，
即DH=HG，同理BG=HG，所以DH=HG=BG

⑵ 取AH中点记为P，连接DP，EP。 因为ΔDAH为直角三角形，所以DP=1/2AH
因为EP是ΔAHB的中位线，所以EP∥HB，EP=1/2HB=HG。
即EP∥DH，EP=DH，则DPEH为平行四边形，所以DP=HE，又DP=1/2AH=EG，所以HE=EG
又因为EGFH本来就是平行四边形，所以四边形EGFH是菱形

祝你学习愉快哦

Answer 2

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴ DH/HB=DF/AB=DF/CD=1/2．
∴DH= 1/3BD．
同理：BG= 1/3BD．
∴DH=HG=GB= 1/3BD．
（2）连接EF，交BD于点O．
∵AB∥CD，AB=CD，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴ FO/EO=OD/BO=DF/BE=(1/2CD)/(1/2AB)=1．
∴FO=EO，DO=BO．
∵DH=GB，
∴OH=OG．
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵点E、O分别是AB、BD的中点，∴OE∥AD．
∵AD⊥BD，
∴EF⊥GH．
∴四边形HEGF是菱形．