Question

数学高手进来。几何题，求详解。

如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2AA1＝2，E是AB的中点，F是A1C的中点.
（1）求证：EF∥平面AA1D1D；
（2）求证：EF⊥平面A1CD；

Answer 1

(1)连接AD1与A1D交于点M，连接MF，MF是三角形A1CD的中位线，∴MF∥CD且等于
CD的一半，∴MF∥AE并且MF=AE，所以四边形AEFM是平行四边形
∴EF∥AM，因此EF∥平面AA1D1D
(2)连接EA1与EC，在三角形A1EC中，EA1=EC=√2，且F是A1C的中点
∴EF⊥A1C（等腰三角形底边的中线也是底边上的高）
又∵AM⊥A1D（因为四边形ADD1A1为正方形）且EF∥AM，∴EF⊥A1D
∴EF⊥平面A1CD

Answer 2

（1）设A1D中点G 因为AG//EF
（2）A1D⊥EF EF⊥CD

Answer 3

(1）因F是A1C中点，由对称性F是长方体中心（对称性虽然说得有点虚无，要详证虽然简单但是难写，所以就不写了），所以F是BD1中点，在三角形BAD1中，由中位线定理可知EF平行于AD1,所以EF平行于面AA1D1D
（2）连接AF和BF,显然AF=BF，因为前面已经说过了F是长方体外接球球心，就是中心。又，AE=EB,所以EF⊥AB，而AB∥DC，所以EF⊥DC，所以EF垂直于面A1CD

Answer 4

没有图啊