Question

求实数m的取值范围，使关于x的方程x^2+2（m-1）x+2m+6=0

（1）有两个实数，且都大于1
（2）有两个实数，且一根小于2，另一根大于2
（3）有两个实数αβ，且0＜α＜1＜β＜4
这是三个问题。

Answer 1

(注：5/4 即是四分之五的意思，以下相同）
解：（1）有两实根则：Δ=4(m-1)² - 4(2m+6) > 0
m² - 2m + 1 - 2m - 6 > 0
(m-5)(m+1) > 0
则得：m<-1 或 m > 5
设方程的两个根为x1,x2,且x1>x2
当m<-1时，x2=-(m-1) - (m² - 4m -5)½ > 1
得： m² > m² - 4m -5 即 m> - 5/4
即 -5/4 < m < -1

当m>5时,x2=-(m-1) - (m² - 4m -5)½ > 1
-m > (m² - 4m -5)½
无解。
综上所述 得： -5/4 < m < -1

(2)有两实根则 m<-1 或 m > 5
又由 x1=-(m-1) + (m² - 4m -5)½ >2
(m² - 4m -5)½ > m + 1
解得：m<-1 则可得 m>-1
又 x2 = -(m-1) - (m² - 4m -5)½ < 2
(m² - 4m -5)½ > -( 1+m)
得: m<-1
综上所得 ： 当m<-1时，有两个实数，且一根小于2，另一根大于2
(3)有两实根，则 m<-1 或 m > 5
又有α=-(m-1) - (m² - 4m -5)½
β=-(m-1) + (m² - 4m -5)½
由0< α < 1 可解得：-3<m<-5/4
由1< β < 4 可解得：-7/5<m<-5/4
综上所得： -7/5<m<-5/4

Answer 2

1
两个大于1的实根，需满足：
Δ>0
x1+x2>2
(x1-1)*(x2-1)>0

即m<-1或m>5
且m<0
且m>-5/4

得-5/4<m<-1

2
抛物线y=x^2+2(m-1)x+2m+6开口向上
2位于两根之间，因此x=2对应的y值小于0
2^2+2(m-1)*2+2m+6<0
6m+6<0
m<-1
[或按Δ>0且（x1-2）*(x2-2)<0计算]

3
抛物线y=x^2+2(m-1)x+2m+6开口向上
由题意：
y(0)>0
y(1)<0
y(4)>0

带入得：
2m+6>0
4m+5<0
10m+14>0

-7/5<m<-5/4

Answer 3

x1>1,x1-1>0，反之，x1-1>0，则x1>1
x2>1,x2-1>0，反之，x2-1>0，则x2>1
所以，有：（x1-1)(x2-1)>0
而且：x1+x2>2
而x1*x2>1
(反例：x1=-2,x2=-3,x1x2=6>1，或x1=0.1,x2=30,x1+x2>2,x1x2>1,明白了吧？)
高中数学比起初中差好几个等级呢，所以要努力！

Answer 4

(1)-3<m<-1
(2)m<-5
(3)-7/5<m<-5/4

Answer 5

(1) -1<m<0
(2) 空集
(3) -7/5<m<-4/5