Question

若1≤x≤2时,不等式x^2-2ax+a<0恒成立,则实数a的取值范围为

Answer 1

方法：构造二次函数法
解：设f（x）=x²－2ax＋a；
分析：由二次函数的图像可以知道这个是一个开口向上的抛物线；只有满足
① Δ＞0 即4a²-4a＞0（只有f（x）与x轴有两个交点，才可能使得函数f（x）有在x下方的图像）
② f（1）＜0 即 1-2a+a＜0
③ f（2）＜0 即 4-4a+a＜0 （ 画画图可以知道②③保证了1≤x≤2时所有的f（x）＜0）
联立不等式组 得 a＞三分之四

Answer 2

方法：参数分离。
解答：
x²－2ax＋a>0 =====>>>> (2x－1)a<x² ===>>>>>>> 2x－1>0 ===>>>>
a<(x²)/(2x－1) ====>>> 设2x－1=t ，则：t∈[1，3]，且x=(t＋1)/2，则：
a<(1/4)[t＋1]²/t=(1/4)[t²＋2t＋1]/t=(1/4)[t＋1/t＋2]
考虑到t＋1/t≥2，则本题中只需要a小于(1/4)[t＋1/t＋2]的最小值即可，因t＋1/t＋2的最小值是4，则：a<1

注：题目中应该是：x²－2ax＋a>0恒成立。

Answer 3

原式=(x-a)^2-a^2+a＜0
由原式：∵1≤x≤2 x^2+a(1-2x)＜0 ∵(1-2x)＜0 ∴a＞-x^2/(1-2x) 此式对x求导，得x＞1时,函数a是单增函数∴x=2时 -x^2/(1-2x)=4/3 ∴a＞4/3即为所求
你会对商求导吗？(u/v)’=(u’v-v’u)/v^2, a’=[-2x*(1-2x)-(-x^2)(-2)]/(1-2x)^2
令分子＞0 2x^2-2x＞0 x＞ 1函数单调递增。x=2时 a=4/3最大，∴a＞4/3

Answer 4

分三种情况
最后应该是a大于4/3