Question

已知f(x)是R上的偶函数,若将f(x)的图像向右平移一个单位后,则得到一个奇函数的图

已知f(x)是R上的偶函数,若将f(x)的图像向右平移一个单位后,则得到一个奇函数的图像，若f(2)=-1,则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2011)的值为？
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麻烦过程写详细点，谢谢

Answer 1

解：
原函数在R上满足：f(x) = f(-x)
向右平移一个单位后：另g(x) = f(x-1)
而在R上g(x)是奇函数，所以：
g(x)+g(-x) = 0
而g(-x) = f(-x-1)
所以：f(x-1) + f(-x-1) = 0
有：f(x-1) + f(x+1) = 0
成立
当x取2,,6,10....2010时，
f(1) + f(3)=0
f(5) + f(7)=0
........
f(2009)+f(2011) = 0
以上各式相加：
f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+.....+f(2011) = 0................................. (1)
令x = x +1，则：
f(x) + f(x+2) = 0
当x取2，6， 10，.....2008时：
f(2) + f(4) = 0
f(6) + f(8) = 0
f(10) + f(12) = 0
...........
f(2008) + f(2010) = 0
f(2)+f(4)+f(6)+f(8)+.....+f(2010) = 0.................................(2)
因此；(1)+(2)得：
f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2011) = 0

追问

f(x-1) + f(-x-1) = 0
怎么得到f(x-1) + f(x+1) = 0

追答

因为f(x) = f(-x)

追问

g(x)=-g(-x)，那为什么g(-x) = f(-x-1)
由g(x) = f(x-1)，g(-x)应该等于-f(x-1)啊

追答

晕死，怎么能这样理解？
g(x) = f(x-1)
则：g(t) = f(t-1)
令t = -x
g(-x) = f(-x-1)

Answer 2

设f(x)向右平移一个单位后的函数为g(x)
由题意得:g(x)=f(x-1)和g(-x)=-g(x)及f(-x)=f(x)
f(1)=f(-1)=g(0)=0
f(2)=-1
由f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)... 可得到f(x)=(-1)^kf(x-2k)
所以 f(3)=-f(1)=0...f(x)的奇数项值为0
f(4m)=f(2+2(2m-1))=1
f(4m+2)=-1
在4到2011中,有52项是4的倍数,能被4除余2的数也有52个.所以上面式子的值为-1

Answer 3

一个偶函数通过平移后变成奇函数，说明两者之间必定有联系，就我们现在所学的函数只能是三角函数，经过推理，可设f(x)=cos(πx/2),f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,2011=2008+3,所以要求是式子等于0+（-1）+0=-1

Answer 4

答案是不是2

追问

不知道，，你过程写来看看