Question

已知定义在R上的单调函数f(x)满足:对任意的x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(3)>0

(1)判断f(x)的奇偶性及增减性(2)若对任意x属于R,有f(k*3^x)+f(3^x-9^x-2)<0成立,求k的取值范围

Answer 1

（1）令x=y=0,得f(0)=2f(0),f(0)=0,
f(x)是R上的单调函数，f(3)>0=f(0),
∴f(x)是增函数。
令y=-x,得f(x)+f(-x)=0,f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数。
（2）f(k*3^x)+f(3^x-9^x-2)<0，化为
f(3^x-9^x-2)<-f(k*3^x)=f(-k*3^x),
f(x)是增函数,
∴3^x-9^x-2<-k*3^x,
∴k<3^x+2/3^x-1,
3^x+2/3^x-1的最小值=2√2-1，
∴k<2√2-1.

Answer 2

f(0)=2f(0)
=0
f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以为奇
f(3)>0
所以为增
f(k*3^x)+f(3^x-9^x-2)<0
f(k*3^x+3^x-9^x-2)<0
s=3^x
-s^2+(k+1)s-2<0
s=(k+i)/2
-2根号2-1<k<2根号2-1