Question

如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE．

问：若四边形BECF的面积是6平方厘米且BC+AC=根号105 厘米时。求AB
请说明过程，谢谢

Answer 1

因为EF与BC垂直且平分，则四边形BFCE为菱形，
三角形BEC的面积为菱形BFCE面积的一半3平方厘米
因为EF垂直于BC，AC垂直于BC，则EF平行于AC
D为BC中点，则E为AB中点，则三角形AEC面积等于三角形BEC的面积等于3
所以三角形ABC的面积为6，
三角形ABC的面积=1/2*AC*BC=6，AC*BC=12， 又AC+BC=根号105
勾股定理得，AB^2=AC^2+BC^2=105-2*12=81
所以AB=9

Answer 2

由BC的垂直平分线EF，可知三角形FCE为等腰三角形，CF=CE。又CF=AE, 所以CE=AE
因∠ACB=90°，故E为斜边AB的中点
从已知得AC∥DE，所以D为BC中点，BECF为菱形。三角形ABC的面积=BECF的面积=6
（BC+AC）²=（根号105）²
AB²-2.2三角形ABC的面积=105
AB=9

Answer 3

方法一：∵EF与BC垂直且平分，∴四边形BFCE为菱形，
∴三角形BEC的面积为菱形BFCE面积的一半3平方厘米
∵EF垂直于BC，AC垂直于BC，
∴EF平行于AC，D为BC中点，
∴E为AB中点，
∴三角形AEC面积等于三角形BEC的面积等于3
∴三角形ABC的面积为6，
三角形ABC的面积=1/2*AC*BC=6，AC*BC=12，
又AC+BC=根号105
由勾股定理得，AB^2=AC^2+BC^2=105-2*12=81
∴AB=9
方法二：由BC的垂直平分线EF，可知三角形FCE为等腰三角形，CF=CE。
∵CF=AE,
∴CE=AE
∵∠ACB=90°，故E为斜边AB的中点
从已知得AC∥DE，
∴D为BC中点，BECF为菱形。三角形ABC的面积=BECF的面积=6
∴（BC+AC）²=（根号105）²
AB²-2.2*S△ABC=105
解得 AB=9

Answer 4

1）四边形BECF是菱形．
证明：EF垂直平分BC
∴BF=FC，BE=EC
∴∠ABC=∠BCE
∵∠ACB=90°
∴∠ABC+∠A=90°
∠BCE+∠ACE=90°
∴∠ACE=∠A
∴EC=AE
∴BE=AE
∵CF=AE
∴BE=EC=CF=BF
∴四边形BECF是菱形
（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠BCE=45°，
∴∠EBF=2∠ACE=90°
∴菱形BECF是正方形．