Question

已知函数f(x)=|x|/(x+2) (1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并加以证明

(2)如果函数g(x)=f(x)-kx^2，若函数g(x)在(负无穷，0]上有三个零点，求实数k的取值范围

Answer 1

(1) 在区间(0,+∞)上,|x|=x,所以f(x)=x/(x+2) =1-2/(x+2)

对任意x1>x2>0,f(x1)-f(x2)=2/(x2+2)-2/(x1+2)>0，所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增。

(2) 在(负无穷，0]上,f(x)=-x/(x+2) .g(x)=-x/(x+2)-kx^2=-1+2/(x+2)-kx^2，x=0时g(x)＝0,这是一个零点。令h(x)=kx^2.

g'(x)=-2/((x+2)^2)-2kx.若函数g(x)在(负无穷，0]上有三个零点,则在(负无穷，0]上一定存在x使得g(x)=0,即-2/((x+2)^2)-2kx=0,所以有k=-1/(x(x+2)^2)>0.

f(x)=-1+2/(x+2)在(负无穷，-2)上递减，值域为[-1,负无穷大）；在(-2,0]上递减，值域为[0,正无穷大)

g(x)=f(x)-h(x)=0,则f(x)=h(x),即途中的黑线表示的函数和紫线表示的函数在(负无穷，0]上有三个交点，k>0,二次函数h(x)=kx^2开口向上.

x=0处f(x)和h(x)有一个交点，在(负无穷，-2)上没有交点，所以在(-2,0)上f(x)和h(x)有且只有两个交点,即g'(x)=0在(-2,0)上有两个解，而k=-1/(x(x+2)^2)．

在(-2,0)上，令t(x)=-1/(x(x+2)^2),t'(x)=-(3x+2)/(x^2*(x+2)).若t'(x)=0,则x=-2/3,即当x=-2/3时，t(x)取最小值为27/32.

由于g'(x)=0在(-2,0)上有两个解，所以k的取值范围为（27/32，正无穷大）．

（图画的很难看，抱歉）

。

g(x)=f(x)-h(x)=0,则f(x)=h(x)

追问

f(x)=-1+2/(x+2)在(负无穷，-2)上递减，值域为[-1,负无穷大）；在(-2,0]上递减，值域为[0,正无穷大)
后面也是递减啊？那值域还[0,正无穷大)，有没有写错了？

追答

没有写错。f(x)=-1+2/(x+2)在x=2时是没有定义域的，因此在(负无穷，-2)和(-2,0]上要分开讨论，这个是关键问题。
不知道你有没有学过极限。f(x)在x=-2时的左极限是负无穷大，右极限是正无穷大。所以当x从右边无限接近-2时，f(x)无限接近于正无穷大；当x从左边无限接近-2时，f(x)无限接近于负无穷大。
就像y=1/x，在(负无穷，0)上递减，值域是[0,负无穷大）；在(0,正无穷大]上递减，值域为[0,正无穷大)。这里也是一样的道理。