Question

已知：函数f(x)=ax+b/x+c(a,b,c是常数)是奇函数，且满足f(1)=2,f(2)=5/2求： （1）a,b,c的值

（2）试判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性并说明理由。

Answer 1

1、f(x)=ax＋b/x＋c是奇函数，则f(－x)=－f(x)，即：－ax－b/x＋c=－[ax＋b/x＋c]，得：c=0
则：f(x)=ax＋(b/x)
又：f(1)=a＋b=5/2 =====>>>> 2a＋2b=5
f(2)=2a＋(b/2)=17/4 ===>>>> 2a＋(b/2)=17/4
两方程相减，得：
(3/2)b=3/4 ====>>>> b=1/2
代入计算，得：a=2

2、f(x)=2x＋1/(2x) 设：0<x1<x2<1/2
则：f(x1)－f(x2)=[2x1＋1/(2x1)]－[2x2＋1/(2x2)]
=2(x1－x2)－(1/2)[(x1－x2)/(x1x2)]
=(x1－x2)[(2－1/(2x1x2)] ===>>>> x1－x2<0，1/(x1x2)>4则1/(2x1x2)>2则
. 2－1/(2x1x2)<0
则：f(x1)<f(x2)
从从而函数f(x)在(0，1/2)上单调递增。

Answer 2

2=a+b+c
-2=-a-b+c
2.5=2a+0.5b+c

a=1,b=1,c=0
2)x+1/x
在0,1上单调递减
不等式性质 x+1/x>=2sqrt(x*(1/x))，取最小值时x=1/x
x=1时取最小值
(0,1)上单调递减

Answer 3

f(1)=(a+b)/(1+c)=2 f(2)=(2a+b)/(2+c)=5/2
f(x)=-f(-x)得c=0 a=3,b=-1,c=0
g=x在区间(0,1)上增 h=-1/x在区间(0,1)上增
f=g+h在区间(0,1)上增