Question

已知函数f(x)=loga(根号下(x^2+m)+x)(a>0且a≠1)为奇函数 (1)求实数m的值 (2)判断

f(x)的单调性并加以证明

Answer 1

f(x)=loga(√(x²+m)+x)
-f(x)=-loga(√(x²+m)+x)
f(-x)=loga(√(x²+m)-x)
∵函数f(x)为奇函数
∴f(-x)=-f(x)
即　loga(√(x²+m)-x)=-loga(√(x²+m)+x)
或　　(√(x²+m)-x)=1/(√(x²+m)+x)
　　　(x²+m)-x²=1
∴ m=1
f(x)=loga(√(x²+1)+x)
f'(x)=1/[lna(√(x²+1)+x)]*[x/√(x²+1)+1]
令　f'(x)=0 x=-√(x²+1) 不成立
∴　 函数在其定义域内无拐点
且　　f'(x)>0 函数单调递增

Answer 2

f(x)=loga(√(x²+m)+x)
f(-x)=loga(√(x²+m)+x)=-loga(√(x²+m)+x)=-f(x)
m=1
f(x)=loga((√(x²+1)+x)