Question

那位可以帮我解一道数学题，谢谢。已知函数f(x)满足：f（1）=1／4，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x ,y∈R），

已知函数f(x)满足：f（1）=1／4，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x ,y∈R），则f(2010)=????

Answer 1

令y=1， 4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)得f(x)=f(x+1)+f(x-1) ....(1)
由于x得任意性，用x+1代x ，所以 f(x+1)=f(x+2)+f(x) (2)
(1)+(2) 有f(x+2)=-f(x-1),即f(x)=-f(x-3)
f(2010)=f(0)
4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),令x=1,y=0,可得f(0)=0.5,所以f(2010)=0.5

追问

为什么
(1)+(2) 有f(x+2)=-f(x-1),即f(x)=-f(x-3)？？

追答

再用x-2代替x就行了，因为x是随意的。这类问题这个技巧很重要，这样变换之后通过相加相减啊，就可以得到自己想要的，以后可以做类似的题目，好好体会一下

还有1点要注意，这里2010-0/3=670，是偶数，所以f(x)=-f(x-3)的符号最后没了，如果是奇数个的话，答案还得有个符号呢，自己想想，找下规律

Answer 2

4f0^2=2f0
4f1f0=2fi
综上
f0=1/2
4f1f1=f2+f0=f2+1/2
f2=-1/4
4f1fx=fx+1 +fx-1=fx
设an=fx
an+1-an+an-1=0
特征跟
x^2-x+1=0 x1>x2
根据公式，若方程组（*）有一对共扼虚根 通过复数三角形式运算不难求得此时数列的通项公式为 an=c1cosnπ/3+c2sinnπ/3
n=1 a1=1/4
n=2 a2=-1/4
de c1=1/2
c2=0
fn=1/2 cheng cosnpai/3
f2010=1/2cos670pai=1 /2

Answer 3

令y=0，则由已知 4f(x)f(0)=2f(x) ==> f(0)=1/2
令y=1，则 4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1) ==> f(x+1)=f(x)-f(x-1)

f(2)=f(1)-f(0)=-1/4
f(3)=f(2)-f(1)=-1/2
f(4)=f(3)-f(2)=-1/4
f(5)=f(4)-f(3)=1/4

多推几步，就可以看出规律了

Answer 4

4 f (0) f (0) = 2 f (0)
f (0) = 1/2
将y=1代入， f(x+1) = f(x) - f(x-1)
推出f(2) = f(1)-f(0) = -1/4
f(3) = f(2)-f(1) = -1/2
f(4) = -1/4
f(5) = 1/4
∴T=6，2010/6=335，∴f(2010)=1/2

Answer 5

令x=y=0 4f(0)^2=2f(0) f（0）=1/2或0
令x=1 y=0 4*1/4*f(0)=1/4+1/4=1/2 所以f(0)=1/2
令x=1 y=1 可求出f(2)= -1/4
令x=2 y=1 求出f(3)= -1/2
x=2 y=2 f(4)= -1/4
f(5)=1/2
可以看出是循环函数
2010是5的整数倍 所以f(2010)=1/2

Answer 6

491.75