Question

设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax.

设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax.(a∈R),若对任意a∈(-3,-2)及X1,X2∈[1,3],恒有（m+ln3)a-2ln3> I f(x1)-f(x2) I 成立，确定m的取值范围。
过程详细哈，在线等
好得加分

Answer 1

m>40/9或m<-40/9
先求出原函数的导数，然后找到取得极值点的X=1/2和-1/a 根据a∈(-3,-2)，得到-1/a∈(1/3,1/2)，根据导数大于零小于零来得到原函数在X∈[1,3]上为增函数，题目条件（m+ln3)a-2ln3> I f(x1)-f(x2) I 这句话意思就是（m+ln3)a-2ln3>I f(x1)-f(x2) I 的最大值，既然原函数在X∈[1,3]上为增函数，那么这个最大值就是I f(3)-f(1)I ,将1和3代入然后根据绝对值不等式：I(2-a)ln3+4a-2/3I< I(2-a)ln3I+I4a-2/3I,这样就OK啦 然后再把题目中的（m+ln3)a-2ln3化简=ma+(a-2)ln3,把这个式子和I(2-a)ln3I+I4a-2/3I一对比发现(a-2)ln3是公共项 最后就可以使ma》I4a-2/3I，最后求得m的范围
注：时间仓促，可能结果不一定算对，但是过程就这样的 我不高兴检查了，你就照着我这个过程计算吧

追问

高手，
过程阿
你知道吗原函数在X∈[1,3]上为减函数那，我和下一味结果一样，

追答

恩 我重新算了一下，问题出在求出一次导数后，一次导数在X∈[1,3]上为增函数计算错误，应该是减函数，然后在算得的答案和一下答案一致：m<-13/3，谢谢各路高人指正，以后做题时一定要更加细致小心，谢谢了~

Answer 2

F(x)=（2-a）lnx+1/x+2ax, f’(x)=(2-a)/x-1/x2+2a, f’’(x)=(a-2)/x2+2/x3=（2-(2-a)x）/x3, 由于a∈(-3,-2)及x∈[1,3],则f’’(x)<0, 则f’(x)是单调递减的. 所以f’(x)<f’(1)=a+1<0,所以f(x)也是单调递减的。f(x)≤f(1)=2a+1<0,同时 f(x)≥f(3)=6a+1/3+（2-a）ln3; 所以对于任意的x1,x2; |f(x1)-f(x2)|≤|f(1)-f(3)|=-4a+(a-2)ln3+2/3 由题义，(m+ln3)a-2ln3>-4a+(a-2)ln3+2/3,则 m<-4+2/3a，而a∈(-3,-2)，所以m<-13/3.