Question

请教多元函数微分学的问题

二元函数中二阶混合偏导数相等的充要条件是什么？(注意是充要条件)
当二阶混合偏导数不相等的时候，一般是什么样的情况？

Answer 1

形象的说这个充要条件就是：这个二元函数要连续且光滑，你想象一个三维坐标系中，一个光滑的平面，就像水面一样，没有折痕，这样的函数二阶偏导就相等
不相等的时候一般就是不光滑的时候，比如两个平面相交于一条直线，在那条交线上二阶偏导就不等。当然，如果某个二阶导数本身就无意义那就更不用说了。

追问

你说得太形象了...能不能用数学语言描述呢？

追答

我记得这个书上确实没说充要条件，不过即使有估计你也用不上，楼下说的那个条件就很好了，实在要说的话那可以描述为：函数从任一方向的导数都存在且相等，这个理解起来还行，做题用起来比较麻烦，如果不是特殊情况这个条件很难应用。

Answer 2

高数中有个定理，现摘录如下：若函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数在点（x0，y0）均连续，则它们相等。
因此，反推当二阶混合偏导数不相等的时候，两个二阶混合偏导数在点（x0，y0）至少有一个是不连续的。
谢谢！

追问

那个是充分条件...

追答

但是，不管是本科学习或者是考研学习等，只需要用到这个定理就足够了啊。

Answer 3

一般的书都只给出充分条件，不容易找充要条件。很多定理都是这样，比如牛顿-莱布尼兹定理。前人也有很多结果，但是用处不大，现在的课本基本不提。