Question

在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE交AC于F，过F作FG平行于AB,交AE于G,求证AG的平方=AF*FC（详细说明BF垂直AC)

（详细说明BF垂直AC，其他可略写)
图

Answer 1

原题是这样的：
在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE垂直AC且交AC于F，过F作FB平行AB交AE于G。
求证:AG^2=AF·FC。

很明显“BF垂直AC“是一个已知条件，并不是证明出来的，如果“BF垂直AC”不是已知条件的话，该题目是无法证明出来。这道题目的图形多画几个图出来就可以分辨出来了。
楼主做题目还是很认真，希望你学习进步。
如果是已知条件的话证明比较简单
如图,在RT△ABC中，BF是AC边上的高，BF垂直于AC，
RT△ABF和RT△BCF相似，
其对应边成比例：CF：BF=BF：AF
∴ AF·FC=BF^2
∵ E为CD中点，∴ BE=AE，
∵FG平行AB， ∴ BF=AG
AF·FC=BF^2
故：AG^2=AF·FC

Answer 2

连接BG,z做出AB中点H
易证四边形AGFB为等腰梯形，根据其性质对角线相等
所以 GB=AF
易证△AFB≌△BGA
所以 ∠AGB=∠AFB
根据圆的证明可得 当在同一弧的同侧有两角相等则组成两角的四点共圆（表诉不是很准）
所以A G F B 四点共圆
并易证出除AB中点H以外再无一点使其共圆
所以 AB是⊙H的直径
所以直径所对的角是直角
所以∠AFB=90°，是直角
（其余证明省略）

Answer 3

原题：
在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE垂直AC且交AC于F，过F作FB平行AB交AE于G。
求证:AG^2=AF·FC。

证明：∵E是CD中点，
∴DE=CE；
又∵AD=BC，∠D=∠BCE=90°，
∴△DEA≌△CEB，
即AE=BE；
∵GF∥AB，
∴ EG/AE=EF/BE，
即 AG/AE=BF/BE，
∵AE=BE，
则AG=BF；
在Rt△ABC中，
BF⊥AC，
则△ABF∽△BCF，
∴BF^2=AF•FC，即AG^2=AF•FC．

Answer 4

是的，BE垂直AC是已知条件，要不然求不出来。