Question

一道国际奥数题求解答

一道奥数题:有ABC三道题，25个学生每人至少完成了一道题。i)在只完成一道题的同学中，有一半的人没有完成A; i i)没有完成A的同学中，完成B的是完成C的两倍；i i i)完成A的同学中，只完成A的比还完成了其他题的多一个。
请问，只完成B的同学有多少人？

Answer 1

设只完成A，B，C的人数为未知量A，B，,C.完成B，C两道而未完成A的为未知量BC，剩下的人是完成A并且还完成了其他题设为未知数a。
由条件i：A=B+C。
由条件ii：B+BC=2(C+BC)，所以BC=B-2C。
由条件iii：A=a+1，所以a=A-1.
由大前提：A+a+B+C+BC=25.
看大前提用iii式将a替换成A，再用i，ii式将A，BC替换成B，C，得到4B+C=26.所以C=26-4B。
C>0,所以26-4B>0.所以B<26/4,所以B<=6.（因B为整数）
BC=B-2C>0,将C=26-4B带入得9B-52>0,所以B>52/9,所以B>5.
B<=6,且B>5,所以B=6.

Answer 2

设只完成A、B、C分别有X、Y、Z人，完成AB、BC、AC分别有c、b、a人，完成ABC有S人
由题意X+Y+Z+a+b+c+s=25
X=Y+Z a+s+c+1=X Y+b=2Z+2b（*）
解得9Y-b=52
由（*）得Y=b+2z所以Y大于b
只有一根满足Y=6

Answer 3

答案是3