Question

一道很经典的高数求极限题目。请问错在哪里？

题目：lim[(1+1/x)^x^2]e^(-x) （X趋于正无穷）
错的解题过程：lim{[(1+1/x)^x]^x}/e^x (（1+1/x）用重要公式替换)
=lime^x/e^=1

不知道错在哪里。

Answer 1

这个题目不可以这样做，我们讲两个重要极限之一的lim(x→∞）（1+1/x)^x=e
要看到，指数中只能有一个x，不能有x的次方，而这个题目中，恰有次方，因此
lim{[(1+1/x)^x]^x}/e^x (（1+1/x）用重要公式替换)
=lime^x/e^=1
这个解题过程错误。

Answer 2

应该等于e^(-1/2)吧

追问

恩，是的，没错。
我的做法错在哪里呀

追答

呵呵 你这是极限变成二次极限的错误
极限题目没有特殊说明都是二重极限
你不能把极限分成两步，你如果lim{[(1+1/x)^x]^x}/e^x (（1+1/x）用重要公式替换)
=lime^x/e^=1
这样做就等于先求(1+1/x)^x这部分极限 再求lime^x/e^x极限，这就是明显的化为了二次极限
但是这两部分是同时趋近的，是二重极限