Question

已知函数f（x）=x²-4ax+2a+6（x∈R） （1）若函数的值域是[0，+∞﹚，求a的值

（2）若函数的函数值均为非负数，求函数y=2-a│a+3│
答案给的是（1） ∵若函数的值域是[0，+∞﹚可知，则Δ＝（-4a）²-4（2a+6）=16a²-8a-24=0
（2）函数的函数值均为非负数，则Δ≤0
函数的值域和根与系数关系有什么关系？、为什么这么解？？

Answer 1

分析：（1）二次函数的值域，可以结合二次函数的图象去解答，这里二次函数图象开口向上，△≤0时，值域为[0，+∞）
（2）在（1）的结论下，化简函数f（a），转化为求二次函数在闭区间上的最值问题．解答：解：（1）∵函数的值域为[0，+∞），即二次函数f（x）=x2-4ax+2a+6图象不在x轴下方，
∴△≤0，即16a2-4（2a+6）≤0，∴2a2-a-3≤0，
解得：-1≤a≤ 32．
（2）由（1）知，对一切x∈R函数值均为非负数，
有△≤0，即-1≤a≤ 32；∴a+3＞0，
∵f（a）=2-a|a+3|=-a2-3a+2=- (a+3/2)2+ 174，其中 (a∈[-1，3/2])；
∴二次函数f（a）在 [-1，3/2]上单调递减．
∴f (3/2)≤f（a）≤f（-1），即- 19/4≤f（a）≤4，
∴f（a）的值域为 [-19/4，4]．
不懂，请追问，祝愉快

Answer 2

答案的方法是正确的。
首先，你要明确一点，抛物线的二次函数是比较特殊的存在。与直线对应的一次函数以及双曲线都是不同的。一般要考到值域与根的关系是都是考抛物线，因为其他两种出不了题。
其次，你要知道抛物线的特性。

根与系数的关系(delta)
二次函数令y等于0后得到的方程的根(无实根可认为0个根)，就是抛物线和横轴的交点的横坐标的值，所以，根的个数是抛物线与横轴交点个数的反映。
而delta是判断方程有无实根的依据。delta大于0时，有两实根，抛物线与横轴有两个交点；delta等于0时，有一（实际是两个相等的实根）实根，抛物线与横轴有一个交点；delta小于0时，没有实根，抛物线与横轴无交点。

值域与系数的关系
然后需要明白的是，抛物线有方向即开口向上或者向下，开口方向是由二次项系数a的正负决定的，a大于0开口向上，a小于0开口向下（等于0就不是抛物线忽略不计)。
如果画出图像可以发现，a大于0时抛物线有一个极小值同时也是最小值；a小于0时抛物线有个极大值同时也是最大值。无论a大于0的极小值还是a小于0的极大值，都是在x=-b/2(即对称轴处取到)，不妨令对称轴处函数值为M。a大于0时值域是[M，+∞)，a小于0时值域是（-∞，M]
总上所述，如果可以画出函数图像那么结果显而易见。

Answer 3

解：（1）∵函数的值域为[0，+∞），即二次函数f（x）=x2-4ax+2a+6图象不在x轴下方，
∴△=0，即16a2-4（2a+6）=0，∴2a2-a-3=0，
解得：a=-1或a=32．
（2）由（1）知，对一切x∈R函数值均为非负数，
有△≤0，即-1≤a≤32；∴a+3＞0，
∵f（a）=2-a|a+3|=-a2-3a+2=-(a+
32)2+174，其中 (a∈[-1，
32])；
∴二次函数f（a）在[-1，
32]上单调递减．
∴f(
32)≤f（a）≤f（-1），即-194≤f（a）≤4，
∴f（a）的值域为[-
194，4]．