Question

已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m、n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2,且f(1/2)=0,当x>1/2时，f(x)>0。

Answer 1

已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m、n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2,且f(1/2)=0,当x>1/2时，f(x)>0
（1）求f（1）；
（2）求和f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）；
（3）判断函数f（x）的单调性并证明．
分析：（1）在已知等式中，令m=n= 1/2，可以求出f（1）的值．
（2）由f（1）的值和已知等式，依次求出f（2）、f（3）、…f（n），利用等差数列的求和公式计算出所求式子的值．
（3）写出f（x）的解析式，依据单调性的定义证明在其定义域内单调递增．
解答：解：（1）f（1）=f（ 1/2）+f（ 1/2）+ 1/2=0+0+ 1/2= 1/2，
（2）∵f（2）=f（1）+f（1）+ 1/2=3× 1/2，
f（3）=f（2）+f（1）=5× 1/2，…
f（n）=（2n-1）× 1/2，
∴f（1）+f（2）+…+f（n）= 1/2（1+3+5+…（2n-1））= 1/2n²
（3）f（x）=（ 2x-1）× 1/2=x- 1/2，在其定义域内是增函数，
证明：设 a＜b，f（b）-f（a）=（b- 1/2）-（a- 1/2）=b-a，由题设知，b-a＞0，
∴f（b）-f（a）＞0，f（b），＞f（a），∴f（x）在其定义域内是增函数．

Answer 2

解不等式:f(3x-x^2-1)>1/2.
求f(1)+f(2)+......+f(n).

解f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2,且f(1/2)=0.
f(1/2+1/2)=f(1/2)+f(1/2)+1/2=2f(1/2)+1/2=1/2.
∴f(1)=1/2.
f(3x-x^2-1)>1/2=f(1),
又 ∵当x>1/2时,f(x)>0,说明f(x)为增函数,
有(3X-X^2-1)>1,
X^2-3X+2<0,
1<X<2.

f(1)=1/2,
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+1/2=3*1/2=3/2,
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+1/2=3/2+1/2+1/2=5/2,
f(4)=f(3+1)=f(3)+f(1)+1/2=7/2
.......
f(n)=(2n-1)/2.
∴f(1)+f(2)+......+f(n)=1/2+3/2+5/2+7/2+....+(2n-1)/2,
=[1/2+(2n-1)/2]*n/2
=n^2/2.