Question

为什么可导的函数一定连续,不连续的函数一定不可导

Answer 1

函数在某一点可导形象地理解就是函数在这一点上可以作切线，事实上这个切线的斜率就是导数的值，所以就要求函数必须连续，如果不连续你是作不出切线的。

Answer 2

有定义域的限制，可导函数是在一定的定义域上，若定义域不连续，整个函数就不连续，但其中有一段连续，则这一段上的函数就连续，但不能说整个函数是连续的

Answer 3

导数的定义 f ' (x) = Limit [ ( f(x+h)-f(x) )/ h , h -> 0]
如果可导，上述极限存在，因为 h -> 0 ， 必有 Limit [ f(x+h)-f(x) , h -> 0] =0
也就是 Limit [ f(x+h) , h -> 0] = f(x) , 即 函数在点 x 处连续。
反之， Limit [ f(x+h) , h -> 0] = f(x) <=> Limit [ f(x+h)-f(x) , h -> 0] =0
不能得到 Limit [ ( f(x+h)-f(x) )/ h , h -> 0] 是存在的。