Question

方程(x^2-2x+m)(x^2-2x+n)=0四个根组成一个首项为1/4的等差数列，求m和n的值

Answer 1

x^2-2x+m=0
x^2-2x+n=0
已知有一实根为1/4
则必有（x-1/4)(x-7/4)=0
那么m=7/16或n=7/16
这样，又一个实根出现，就是x=7/4
xn=x1+q（n-1)
x2=x1+q
x3=x1+2q
x4=x1+3q
当x2=7/4时，q=6/4， x3=13/4,x4=19/4
当x3=7/4，q=3/4,x2=4/4,x4=10/4
当x4=7/4，q=2/4,x2=3/4,x3=5/4
而已知2根相加=2.所以只有当x4=7/4，q=2/4,x2=3/4,x3=5/4符合条件
因此，m,n为1/4×7/4=7/16，3/4×5/4=15/16

Answer 2

x1 + x2 = 2 , x1 * x2 = m , x3 + x4 = 2 , x3 * x4 = n
x1 + x2 + x3 + x4 = 4 ,且x1 , x2 , x3 , x4组成一个首项为1/4的等差数列,此数列是
1/4 ，3/4 ，5/4 ，7/4
∵ 1/4 + 7/4 = 2 , 3/4 + 5/4 = 2
∴ m = 1/4 * 7/4 = 7/16 , n = 3/4 * 5/4 = 15/16
或 m = 15/16 , n = 7/16

Answer 3

知方程(x^2-2x+m)(x^2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列

则 |m-n|
解：
假设方程x^2-2x+m=0的两个根分别为：X1，X2
x^2-2x+n=0的两个根分别为：X3，X4。
所以，X1+X2 =2， X1X2=m
X3+X4 =2， X3X4=n
令 X1=1/4，则 X2 =7/4
因为，四个根组成一个首项为1/4的等差数列
所以，等差数列：1/4，X3，X4，7/4
解得
X3=3/4 X4=5/4
所以
m=X1X2=7/16， n=X3X4=15/16

则 |m-n| =|7/16--15/16| =1/2