Question

设矩阵A=(上面1 0 1中0 1 1 下面1 1 2)求A的正交相似对角阵,并求出正交变换阵P.

Answer 1

解: |A-λE| =
1-λ 0 1
0 1-λ 1
1 1 2-λ

r1-r2
1-λ -(1-λ) 0
0 1-λ 1
1 1 2-λ

c2+c1
1-λ 0 0
0 1-λ 1
1 2 2-λ

= (1-λ)[(1-λ)(2-λ)-2]
= (1-λ)(λ^2-3λ)
= λ(1-λ)(λ-3).

所以,A的特征值为 0,1,3
AX=0 的基础解系为 a1=(1,1,-1)'
(A-E)X 的基础解系为: a2= (1,-1,0)'
(A-3E)X 的基础解系为: a3= (1,1,2)'

将 a1,a2,a3 单位化得
b1= (1/√3,1/√3,-1/√3)'
b2= (1/√2,-1/√2,0)'
b3= (1/√6,1/√6,2/√6)'

令P=(b1,b2,b3), 则P为正交矩阵, 满足
P^-1AP = diag(0,1,3).

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