Question

（1）如图1所示，在四边形ABCD中，AC=BD，AC与BD相交于点O，E、F分别是AD、BC的中点，连结EF，

分别交AC、BD于点M、N，试判断⊿OMN的形状，并加以证明。（2）如图2，在四边形ABCD中，若AB=CD，E、F分别是AD、BC的中点，联结FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论；

Answer 1

分析：（1）先得出结论，再进行证明，取AB的中点H，连接HF，HE，根据已知条件，求得∠FMC=∠HFE，同理可得∠END=∠HEF，由AC=BD，从而得出∠END=∠FMC，则△OMN是等腰三角形；
（2）连接AC、BD，取AC、BD的中点H、G；
连接EG、GF、FH、EH；首先证四边形NGFH是菱形（利用三角形中位线定理证四边相等）
然后根据菱形对角线平分对角，得到∠GEF=∠HEF；
易知EG∥BM，HE∥CN，∴∠GEF=∠BMF，∠CNF=∠HEF，∴∠BMF=∠CNF．
解：（1）结论：△OMN是等腰三角形
证明：如图1，取AB的中点H，连接HF，HE
http://hi.baidu.com/youxianai/album/item/5c5fba08174ed8f30b7b826b.html#
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴HF∥AC， HF=1/2AC
∴∠FMC=∠HFE；
同理，HE∥BD， HE=1/2BD，
∴∠END=∠HEF；
又∵AC=BD，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠END=∠FMC，
∴△OMN是等腰三角形．

（2）正确画图
http://hi.baidu.com/youxianai/album/item/5c5fba08174ed8f30b7b826b.html#IMG=53405ed3f0288452970a1699
连接AC、BD，取AC、BD的中点H、G；
连接EG、GF、FH、EH；
∵E，F分别是AD、BC的中点，
∴EG= 1/2AB，GF= 1/2CD，FH= 1/2AB，EH= 1/2CD，
∵AB=CD，
∴EG=GF=FH=EH，
∴四边形NGFH是菱形．
∴∠GEF=∠HEF；
∵EG∥BM，
∴∠GEF=∠BMF，
∵HE∥CN，
∴∠CNF=∠HEF，
∴∠BMF=∠CNF