Question

已知PA垂直与矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB,PC的中点、

1.求证MN⊥AB
2.若平面PDC与底面ABCD成45°角，求证平面MND垂直平面PCD

Answer 1

证明：1）连结AC，作AC中点O，连结NO、MO，
∵PA⊥平面ABCD，则PA⊥AC，
N、O分别是PC、AC的中点，∴NO∥PA，∴PA⊥平面ABCD，
∵O、M分别是AC、AB的中点，∴OM∥BC，又BC⊥AB，
∴OM⊥AB， ∵OM是射线NM在平面ABCD上的射影，
∴MN⊥AB，
2）作PD中点Q，连结AQ、NQ，
∵PA⊥平面ABCD，则PA⊥AD，又PA⊥CD、AD⊥DC，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∴∠PCA=45°，
AQ⊥PC，∵AD⊥DC，∴AQ⊥平面PDC，
∵Q、N分别是PD、PC的中点，
∴QN∥=DC/2，又∵AN∥=DC/2，∴四边形AMNQ是平行四边形，
∴MN∥AQ，
∴MN⊥平面PDC。