Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=Sn·Sn-1（n大于等于2，Sn不为0），a1=2/9

已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=Sn·Sn-1（n大于等于2，Sn不为0），a1=2/9。求满足an>an-1的自然数n的集合
求详解！！

Answer 1

1.由题意得：
Sn-Sn-1=an;
1/Sn-1/Sn-1=(Sn-1 - Sn ) / (Sn·Sn-1) =-an/an=-1;
S1=a1=2/9;
所以1/Sn=1/S1+(n-1)*(-1)=11/2-n;
所以Sn=2/(11-2n);
所以an=Sn-Sn-1=4/[(2n-11)(2n-13)];
所以数列{1/Sn}是公差为-1，首项为2/9的等差数列。
2.当an>an-1时，由第一问结果，得到：
4/[(2n-11)(2n-13)]>4/[(2n-13)(2n-15)];
（接下来主要是讨论符号）；
当2小于n<=5时，化简不等式得到：-15<-11恒成立；
当n=6时，得到-4>4/3，不成立；
当n=7时，得到4/3>-4恒成立；
当n>=8时，得到-15>-11不成立；
综上所述：可得：解集为:
{3,4,5,7} 【【 n=2是不可以的 你可以验证一下】】

Answer 2

(1)
an=Sn*S(n-1)
又an=Sn-S(n-1)
所以Sn*S(n-1)=Sn-S(n-1)
两边同除以Sn*S(n-1),得1=1/S(n-1)-1/Sn
即1/Sn-1/S(n-1)=-1,
所以{1/Sn}是1/S1=1/a1=9/2为首项,以-1为公差的等差数列.

(2)1/Sn=9/2-(n-1)=-n+11/2
所以Sn=2/(-2n+11)
an=[2/(-2n+11)][2/(-2n+13)]=4/[(2n-11)(2n-13)]
an(n-1)=4/[(2n-13)(2n-15)]
an>a(n-1)即4/[(2n-11)(2n-13)]-4/[(2n-13)(2n-15)]>0
解得n<11/2,或13/2<n<15/2
即n={2,3,4,5,7}