Question

正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，过点P作PF⊥CD于点F. 连接PB, 过点P作PE⊥PB且PE交线段CD于点E.

(1) 求证：DF=EF；
(2) 写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论

Answer 1

解：连接BE、PD，过点P作AD的垂线，垂足为G，

①因为点O为正方形ABCD对角线AC中点，

∴点O为正方形中心，且AC平分∠DAB和∠DCB，

∵PE⊥PB，BC⊥CE，

∴B、C、E、P四点共圆，

∴∠PEB=∠PCB=45°，∠PBE=∠PCE=45°，

∴∠PBE=∠PEB=45°，

∴△PBE为等腰直角三角形，

∴PB=PE，

在△PAB和△PAD中有：AB=AD，∠BAP=∠DAP=45°，AP为公共边，

∴△PAB≌△PAD（SAS），

∴PB=PD，

∴PE=PD，

又∵PF⊥CD，

∴DF=EF；

②∵PF⊥CD，PG⊥AD，且，∠PCF=∠PAG=45°，

∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，

∵四边形DFPG为矩形，

∴PA= √2PG，PC= √2CF，

∵PG=DF，DF=EF，

∴PA= √2EF，

∴PC= √2CF= √2（CE+EF）= √2CE+ √2EF= √2CE+PA，

即，PC、PA、CE满足关系为：PC= √2CE+PA；

Answer 2

（1）延长FP交AB于M，作PN⊥AD于N，则四边形AMPN是正方形，AM=PM=PM=AN。
因为AD=AB，所以，BM=DN；
显然，四边形PFDN是矩形，所以，PF=DN=BM，DF=PN=PM。
因为PB⊥PE，PF⊥CD，所以，角MPB+角EPF=90度，角PEF+角EPF=90度，
所以，角MPB=角PEF，又因为，角BMP=角PFE=90度，
所以，三角形BPM全等三角形PEF，所以，PM=EF，
所以，DF=EF。
（2）PC-PA=根号2CE。
在正方形AMPN中，PA=根号2PN=根号2DF=根号2EF，
在等腰直角三角形PCF中，PC=根号2CF，
所以，PC-PA=根号2（CF-EF）=根号2CE。