Question

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+c=2b,则cotA/2cotC/2=

Answer 1

2b=a+c
由正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC
等价于2sinB=sinA+sinC

2sin(π-A-C)=sinA+sinC
2sin(A+C)=sinA+sinC
4sin[(A+C)/2]cos[(A+C)/2]=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]

由0<(A+C)/2<π/2 sin(A+C)/2>0
则2cos[(A+C)/2]=cos[(A-C)/2]
展开得：
2 cos A/2 cos C/2-2sin A/2sin C/2= cos A/2 cos C/2+sin A/2sin C/2,
所以cos A/2 cos C/2= 3sin A/2sin C/2,
Cot A/2 cotC/2=1/3.