Question

函数y=1／ 1-x,的图像与函数y=2sinπx(-2<=x=<4)的图像所有交点的横坐标之和等于多少，要过程的

Answer 1

：函数y1=1x-1与y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，

当1＜x≤4时，y1≥13，

而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在(2，52)上是单调增且为正数函数，

y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在(52，3)上是单调减且为正数，

∴函数y2在x=52处取最大值为2≥23，

而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，

所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），

根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（-2，1）上也有两个交点（图中A、B），

并且：xA+xD=xB+xC=2，故所求的横坐标之和为4，

故答案为：4．

Answer 2

答案应该是8
令z=1-x,即x=1-z；则y=1/(1-x)变为y=1/z,y=2sinπx变为y=2sinπ(1-z)=2[sinπcosπz-cosπsinπz]=2sinπz。因-2<=x=<4，故-4<=-x=<2,-3<=1-x<=3,即-3<=z<=3。这样可知y=1/z与y=2sinπz均为[-3,3]上的奇函数，令f(z)=1/z-2sinπz,则若有z0使得f(z)=0,则必有-z0也使f(z)=0成立。此时x的值分别为1-x0，1+x0，他们的和为2。另外由于y=1/z有意义，故z≠0，排出了交点为奇数个的情形。问题转化为求f(z)=1/z-2sinπz在[-3,3]上的零点有几对的问题。只看z>0一边，简单的画一下y=1/z与y=2sinπz的图像，显然当z=1/2时，1/z=2，2sinπz=2这是一个交点并且此时1/z的切线斜率小于0，而2sinπz的切线斜率等于0这样两者在(1/2,1)上还有一个交点；显然在(2,5/2)(5/2,3)上还各有一个交点。共有四对交点，结果是8.

Answer 3

答案应该为2，先作出y=1/(1-x)的图像，是关于x=1这条直线对称的双曲线，在x<1的范围内函数是增加的，在x>1的范围也是增加的；再作出这个三角函数的图像，另1/(1-x)=2可得x=3,而此时当x=3三角函数的值为0,则表面图像在-2<=x=<4的区间有4个交点。从图像可以可以看出，把x=1改成x=0的话，则答案为0，相当于把两点往右各推移一个单位，所以其值为2。