Question

有关数学函数的问题！！！

设x1与x2分别是方程ax2（ax方）+bx+c=和-ax2（-ax方）+bx+c=0的一个根，且x1不等于x2,x1不等于0,x2不等于0
求证方程（a/2)x2(x方)+bx+c=0有且仅有一个根介于x1和x2之间.
请写一下证明过程！！！谢谢！

Answer 1

证明：由于x1与x2分别是方程ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的根，
所以有 {ax1^2+bx1+c=0
-ax2^2+bx2+c=0
设f（x）= a/2x^2+bx+c，
则f（x1）= a/2x1^2+bx1+c=- a/2x1^2，
f（x2）= a/2x2^2+bx2+c= 3a2/x2^2，
∴f（x1）f（x2）=- 3/4a^2x1^2x2^2
由于x1≠x2，x1≠0，x2≠0，
所以f（x1）f（x2）＜0，
因此方程x^2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间．

追问

f（x1）f（x2）＜0只能说明有根在两者之间吧？怎么能说只有一个根呢？

追答

由于a不等于零，所以f(x1)与f(x2)必定异号，画一下函数图象即可知
此函数在x1与x2之间与x轴必定有一个交点
所以此方程有且只有一个根介于x1与x2之间

Answer 2

由题意得：ax1^2+bx1+c=0 （1)
-ax2^2+bx2+c=0 (2)
而且a不等于0，c不等于0（由x1不等于x2和x1、x2均不等于0可以知道）
另f(x)=(a/2)x^2+bx+c
则f(x1)=(1)-(a/2)x1^2,f(x2)=(2)+ax2^2
由于a不等于零，所以f(x1)与f(x2)必定异号，画一下函数图象即可知
此函数在x1与x2之间与x轴必定有一个交点
所以此方程有且只有一个根介于x1与x2之间

追问

另f(x)=(a/2)x^2+bx+c
下面我就看不懂了，能再明白点吗？？？？

则f(x1)=(1)-(a/2)x1^2,f(x2)=(2)+ax2^2
为什么？？哪来的？？？

追答

ax1^2+bx1+c=0 （1)
-ax2^2+bx2+c=0 (2)
f(x1)=(a/2)x1^2+bx1+c=ax1^2+bx1+c-(a/2)x1^2=-(a/2)x1^2
f(x2)= -ax2^2+bx2+c+1.5ax2^2=1.5ax2^2
由于a不等于零，所以f(x1)与f(x2)必定异号，画一下函数图象即可知
此函数在x1与x2之间与x轴必定有一个交点
所以此方程有且只有一个根介于x1与x2之间(由于是二次函数，若两根都在此范围内，则f(x1)f(x2)应大于零)