Question

设函数f(x)=ln(1+x)-2x/(x+2),

（1）证明：当x>0时，f(x)>0
（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为P，证明：P<(9/10)^19<1/e^2
求详解！谢谢！

Answer 1

1)解：f(x)=ln(1+x)-2x/(x+2)
f'(x)=1/(1+x)-4/(x+2)^2=x^2/[(1+x)(x+2)^2)
当x>0时，f'(x)>0
即x>0时，f(x)是增函数。
∵f(0)=0
∴当x>0时，f(x)>0

2)解：第一次抽到任意牌，第二次抽到与第一次不同的牌的概率是(1-1/100),第三次抽到与第一、二次不同的牌的概率是(1-2/100),.........,第二十次抽到与前十九次不同的牌的概率是(1-19/100)
这二十次都抽到不同牌的概率是
P=1*(1-1/100)(1-2/100)....(1-19/100)=0.99*0.98*0.97....*0.81<0.9^19=(9/10)^19<1/e^2