Question

已知x,y满足x²+y²-4x+1=0

(1)求y-x的最值
(2)求x²+y²的最值
(3)求y/x的最值

Answer 1

x^2+y^2-4x+1=0
x^2+y^2-4x+4=3
(x-2)^2+y^2=3 [x∈(2-√3,2+√3)]
①
(x-2)^2+y^2=3
(x-2)^2/3+y^2/3=1
[(x-2)/√3]^2+(y/√3)^2=1
设(x-2)/√3=cost，y/√3=sint
用t的三角形式表示x、y再代入y-x求最大小值
y-x
=√3sint-√3cost-2
=√6sin(t-π/4)-2
（y-x）min=-√6-2，（y-x）max=√6-2
②
x^2+y^2
=4x-1
当x=2-√3时，(x^2+y^2)min=7-4√3
当x=2+√3时，(x^2+y^2)max=7+4√3
③
设y/x=k，y=kx
y=kx与x^2+y^2-4x+1=0有交点
3-(x-2)^2=k^2x^2
-(1+k^2)x^2+4x-1=0
△=16-4(1+k^2)=0
k=±2√3
(y/x)max=(k)max=2√3
(y/x)min=(k)min=-2√3

Answer 2

恩，这道题描述起来比较费事。我大致说一下思路。x2+y2-4x+1=0可以配成一个圆的标准方程。在坐标系中画出来之后，令z等于第一个式子，得y=x+z,让此直线在此圆内移动，纵截距的最值即是问1的最值
问2的那个式子可转化为圆上的任意一点到原点的距离，接下来数形结合
问3的那个式子可转化为圆上的任意一点与原点所成直线的斜率，接下来数形结合
有什么其他问题再问吧