Question

与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最大的圆的标准方程是

Answer 1

设方程为(x-a)^2+(y-b)^2=R^2为所求方程，(a,b)为圆心坐标。
化简x2+y2-12x-12y+54=0为(x-6)^2+(y-6)^2=18
根据(a,b)到直线的距离为假设圆的半径 2((a+b)/2-1)^2=R^2 （1）
根据(a,b)到已知圆圆心距离为两半径之和 (a-6)^2+(b-6)^2=R^2+18+6√2R （2）
根据(a,b)到已知圆圆心距离为两半径之差 (a-6)^2+(b-6)^2=R^2+18-6√2R (2)'
求R最大值即可
将（1）代入（2） a=b±16-8√(b+2) （3）
分析（1）式：要R最大，R^2最大即可，(a+b)/2-1最大即可，a+b最大即可【（a+b)/2-1>0】
a+b最大即可。
设 y=a+b=2b+16±8√(b+2)
y'=2±4/√(b+2)=0时y有最值
求得b=2代入（3）得：a=2；或者无解
代入（1）得：R=√2
同样的方法分析(2)'的形式得到： a=b=5 R=4√2
相比较得到所求方程为：(x-5)^2+(y-5)^2=32

另外：上述过程可以证明，如果已知直线和已知圆不相交，与两者相切的最大和最小圆的圆心均在过已知圆并垂直于已知直线的直线上。做选择题可以直接用这个结果就可以。

Answer 2

不存在。半径可以无穷大。