Question

已知函数F(X)对于任意X,Y∈R,总有F(X)+F(y)=F(X+Y),且当X>0时,F(x)<0,F(1)= -3/2 求证F(X)在R上是减函数

函数F(X)对于任意X,Y∈R,总有F(X)+F(y)=F(X+Y),且当X>0时,F(x)<0,F(1)= -2/3
求证F(X)在R上是减函数 {-2/3表示的是负3分之2...谢谢有人知道帮小弟解答下,要过程能看明白滴}

Answer 1

任意X1,x2∈R,x1＜x2
则x2-x1＞0
f(x2)-f(x1)=f(x2+x1-x1)-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)
=f(x2-x1)
∵当X>0时,F(x)<0
而x2-x1＞0
∴f(x2-x1）＜0
∴f(x2)＜f(x1)
∴F(X)在R上是减函数

追问

i再问你一个就给分..求F(x)在[-3,3]上的最大值和最小值,

追答

解：由f(x+y)=f(x)+f(y)可知，当x=y=0时，可得f(0)=0,当x+y=0时，有f(0)=f(x)+f(-x).故函数f(x)为奇函数结合函数的奇偶性可知，在R上，函数f(x)递减，故在[-3,3]上，f(x)max=f(-3),f(x)min=f(3).由f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)= -3/2 ,可求得f(2)=f(1+1)=2f(1)=-3,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-9／2,f(-3)=-f(3)=9／2,故在[-3,3]上，f(x)max=f(-3)=9／2,f(x)min=f(3)=-9／2.

追问

我的题目上-2/3表示的是负3分之2... 你可能没看题目吧 答案算错呢

追答

由f(x+y)=f(x)+f(y)可知，当x=y=0时，可得f(0)=0,当x+y=0时，有f(0)=f(x)+f(-x).故函数f(x)为奇函数结合函数的奇偶性可知，在R上，函数f(x)递减，故在[-3,3]上，f(x)max=f(-3),f(x)min=f(3).由f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)= -2／3 ,可求得f(2)=f(1+1)=2f(1)=-4／3,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2,故在[-3,3]上，f(x)max=f(-3)=2,f(x)min=f(3)=-2