Question

已知定义在R上的函数f(x)的图像关于点（-3/4,0）中心对称对称，且f(x)=-f(x+3/2),f(-1)=1,f(0)=-2,

则f(1)+f(2)+....+f(2009)的值为多少？

Answer 1

由f(x)=-1/f(x+3/2)
得f(x+3/2)=-1/f(x+3),
所以f(x)=-1/f(x+3/2)=f(x+3)
f(x)为周期为3的周期函数
由f(x)关于点（-3/4,0）中心对称得f(x)=-f(-3/2-x)=1/f(-x)
故f(1)=1/f(-1)=1
由f(-1)=1,f(0)=-2,
故一周期内函数三个值之和为0
f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2009)=f(1)+f(2)=2

追问

你木有看清楚我的题目啊。。是f(x)=-f(x+3/2),

追答

因为f(x)=-f(x+3/2)
f(x+3/2)=-f(x+3/2 +3/2)=-f(x+3)
所以f(x)=-f(x+3/2)=f(x+3)
所以3是f(x)的一个周期
因为f(-1)=1,f(0)=-2，那么f(2)=1,f(3)=-2
所以只要求出f(1)即可
因为(-1,f(-1))点关于（-3/4,0）对称点为（-1/2，-f(-1)）
f(-1/2)=-f(-1/2+3/2)=-f(1)=-1
得f(1)=1
又∵2009÷3=669......2
所以 f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2009)=669[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)+f(2)=2