Question

已知等腰三角形ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF平行于AB

分别交AC,BC于点E,F，作PM平行于AC，交AB与点M,连接ME.
1.求证：四边形AEPM为菱形
2.当点P在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？

Answer 1

1.
∵MP//AC ,AD平分∠BAC
∴ ∠BAC=∠BMP ∠BAD= ∠DAC=∠APM
∵EF//AB
∴∠BAD=∠APE 四边形AMPE是平行四边形
∴ ∠APE=∠DAC
∴AE=PE
∴四边形AMPE是菱形
2.
菱形的面积=0.5×ME×AP
可证明四边形FBME是平行四边形
平行四边形FBME的面积=(AD-0.5×AP)×ME
所以要使得菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半
即使得ME×AP=(AD-0.5×AP)×ME
即AP=AD-0.5·AP
即AP=2/3 AD
P点应在AD的2/3处

Answer 2

MP//AC ,AD平分∠BAC
∴ ∠BAC=∠BMP ∠BAD= ∠DAC=∠APM
∵EF//AB
∴∠BAD=∠APE 四边形AMPE是平行四边形
∴ ∠APE=∠DAC
∴AE=PE
∴四边形AMPE是菱形
2.
菱形的面积=0.5×ME×AP
可证明四边形FBME是平行四边形
平行四边形FBME的面积=(AD-0.5×AP)×ME
所以要使得菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半
即使得ME×AP=(AD-0.5×AP)×ME
即AP=AD-0.5·AP
即AP=2/3 AD
P点应在AD的2/3处