Question

1²+2²+3²+....+N²=

快点给答案好吗

Answer 1

1²＋2²＋3²＋……＋n²＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)

证明如下：

不妨设1²＋2²＋3²＋……＋n²＝S

利用恒等式(n＋1)³＝n³＋3n²＋3n＋1，得：

(n＋1)³－n³＝3n²＋3n＋1

n³－(n－1)³＝3(n－1)²＋3(n－1)＋1

3³－2³＝3·2²＋3·2＋1

2³－1³＝3·1²＋3·1＋1

将这n个式子两端分别相加，得：

(n＋1)³－1＝3(1²＋2²＋3²＋……＋n²)＋3(1＋2＋3＋……＋n)＋n

由于1＋2＋3＋4＋……＋n＝n(n＋1)/2

代入上式，得：

n³＋3n²＋3n＝3S＋3/2×n(n＋1)＋n

整理后得S＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)

即1²＋2²＋3²＋……＋n²＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)

扩展资料：

证明

设微观与宏观间的数值比为k.（假设单位已经统一）

A ～ B ～ Δx

a　b　a-b

a*k　b*k (a-b)*k

可得a*k=a*[(a-b)]*k/(a-b)

推出a/(a*k)=(a-b)/[(a-b)*k]

用c替换a*k，d替换(a-b)*k

已知a、b、d即可算出c=a*d/(a-b)

因此差量法得证

Answer 2

公式：1²+2²+3²+....+N²=n（n+1）(2n+1)/6

证明：
给个算术的差量法求解：

我们知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1，可以得到下列等式：

2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.........
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1

以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
化简整理得到：
Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6