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1²+2²+3²+……+n²=1/6·n(n+1)(2n+1)
证明如下:
不妨设1²+2²+3²+……+n²=S
利用恒等式(n+1)³=n³+3n²+3n+1,得:
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
3³-2³=3·2²+3·2+1
2³-1³=3·1²+3·1+1
将这n个式子两端分别相加,得:
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+……+n²)+3(1+2+3+……+n)+n
由于1+2+3+4+……+n=n(n+1)/2
代入上式,得:
n³+3n²+3n=3S+3/2×n(n+1)+n
整理后得S=1/6·n(n+1)(2n+1)
即1²+2²+3²+……+n²=1/6·n(n+1)(2n+1)
扩展资料:
证明
设微观与宏观间的数值比为k.(假设单位已经统一)
A ~ B ~ Δx
a b a-b
a*k b*k (a-b)*k
可得a*k=a*[(a-b)]*k/(a-b)
推出a/(a*k)=(a-b)/[(a-b)*k]
用c替换a*k,d替换(a-b)*k
已知a、b、d即可算出c=a*d/(a-b)
因此差量法得证
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公式:1²+2²+3²+....+N²=n(n+1)(2n+1)/6
证明:
给个算术的差量法求解:
我们知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1,可以得到下列等式:
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.........
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1
以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
化简整理得到:
Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6
证明:
给个算术的差量法求解:
我们知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1,可以得到下列等式:
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.........
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1
以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
化简整理得到:
Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6
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