设函数f(x)=a-2/(2^x+1)
设函数f(x)=a-2/(2^x+1)1.求证f(x)是增函数2.求a的值,使f(x)为奇函数3.当f(x)为奇函数时,求f(x)的值域...
设函数f(x)=a-2/(2^x+1) 1.求证f(x)是增函数 2.求a的值,使f(x)为奇函数 3.当 f(x) 为奇函数时,求 f(x) 的值域
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证明:
(1)
【用定义法证明函数的单调性】
任取x1,x2∈R,且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=a-[2/(2^x1+1)]-a+[2/(2^x2+1)]
=[2(2^x1-2^x2)]/[(2^x1+1)(2^x2+1)]
∵y=2^x在(-∞,+∞)上递增,而x1<x2
∴2^x1<2^x2
∴(2^x1)-(2^x2)<0
又(2^x1+1)(2^x2+1)>0
∴f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2)
∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数
(2)
f(x)为奇函数,则f(0)=a-[2/(2^0+1)]=a-1=0
∴a=1
经检验,a=1时,f(x)是奇函数.
(3)
由(2)知:
f(x)=1-[2/(2^x+1)]
∵(2^x)+1>1
∴0<1/[(2^x)+1]<1
∴0<2/[(2^x)+1]<2
∴-1<1-[2/(2^x+1)]<1
∴f(x)∈(-1,1)
(1)
【用定义法证明函数的单调性】
任取x1,x2∈R,且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=a-[2/(2^x1+1)]-a+[2/(2^x2+1)]
=[2(2^x1-2^x2)]/[(2^x1+1)(2^x2+1)]
∵y=2^x在(-∞,+∞)上递增,而x1<x2
∴2^x1<2^x2
∴(2^x1)-(2^x2)<0
又(2^x1+1)(2^x2+1)>0
∴f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2)
∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数
(2)
f(x)为奇函数,则f(0)=a-[2/(2^0+1)]=a-1=0
∴a=1
经检验,a=1时,f(x)是奇函数.
(3)
由(2)知:
f(x)=1-[2/(2^x+1)]
∵(2^x)+1>1
∴0<1/[(2^x)+1]<1
∴0<2/[(2^x)+1]<2
∴-1<1-[2/(2^x+1)]<1
∴f(x)∈(-1,1)
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