Question

二次函数的性质及二次方程根的分布

已知二次函数f(x)=ax^2+bx-2(a不等于零).当a<0时,方程f(x)=x的两实根x1,x2满足x1<1<x2<2,求证b/a>-4

Answer 1

解：
原题有误，反例，a=-1/2，b=9/4。(此时两根分别为(9±√17)/4，但是b/a=-9/2<-4）
如果改为“当a<0时，方程f(x)=x的两实根x1、x2满足x1<1<x2<2，求证(b-2)/a>-4”（或(b+1)/a<-4者），则无误。
证明如下：
由已知结合二次函数图像可知（可画一个图帮助理解）：f(1)<0，f(2)>0，
即a+b-2<0，4a+2b-2>0，即b<2-a，且b>1-2a。
在a-b平面上，做出区域1-2a<b<2-a，a<0，（图略去），将该区域称为区域I。这是一个钝角三角形区域，分别作出直线b=2-4a（对应(b-2)/a>-4），显然，在区域在这条直线下方，即区域内的所有的满足，b<2-4a，所以(b-2)/a>-4（a<0）。
同理可知(b+1)/a<-4。