Question

设向量组a1=（λ,1,1)^T,a2=（1,λ,1)^T,a3=（1,1,λ)^T b=(1,1,1)

设向量组a1=（λ,1,1)^T,a2=（1,λ,1)^T,a3=（1,1,λ)^T b=(1,1,1)问λ取何值时，（1）b 可以由a1 ,a2,a3线性表示，且表达式唯一？）（2）b 可以由a1 ,a2,a3线性表示，且表达式不唯一？）（3）b 不能由a1,a2,a3线性表示

Answer 1

其实就是问a1,a2,a3为列向量的矩阵A构成的方程Ax=b何时有解，因此可以看看r(A)=r(A|b)何时成立即可。

实际上，只要A可逆必然有解，λ只要不是三次方程det|A-λE|=0的根肯定有解，因此答案有无数个。

(1) 行列式 |a1,a2,a3| 不等zhi于0时, b可以由a1,a2,a3线性表示，且表达式dao唯一λ 1 11 λ 11 1 λ= (λ+2)(λ-1)^2.当λ≠1 且λ≠-2 时, 由Crammer法则知有唯一解。

(2)当λ=1时(a1,a2,a3,b) =1 1 1 11 1 1 11 1 1 1-->1 1 1 10 0 0 00 0 0 0此时方程组有无穷多解, 故b可以由a1,a2,a3线性表示，且表达式不唯一。

性质

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

Answer 2

其实就是问a1,a2,a3为列向量的矩阵A构成的方程Ax=b何时有解
因此可以看看r(A)=r(A|b)何时成立即可
实际上，只要A可逆必然有解，λ只要不是三次方程det|A-λE|=0的根肯定有解，因此答案有无数个

Answer 3

1) a1a2=a2a3=a1a3=2λ+1=0

λ=-1/2,
则a1，a2, a3 线性独立

2) a1b,a2b,a3b不等于0
a1a2,a1a3,a2a3不等于0

a1b=a2b=a3b=λ+2
a1a2=a2a3=a1a3=2λ+1
所以λ不等于-2或-1/2

3)a1b=a2b=a3b=λ+2=0
λ=-2,
b和三个全部相互独立
则b不能被a1a2a3表示

Answer 4

解: b由a1,a2,a3线性表示的问题,
等价于线性方程组 (a1,a2,a3)X=b 解的存在问题

(1) 行列式 |a1,a2,a3| 不等于0时, b可以由a1,a2,a3线性表示，且表达式唯一
λ 1 1
1 λ 1
1 1 λ
= (λ+2)(λ-1)^2.

当λ≠1 且λ≠-2 时, 由Crammer法则知有唯一解.

(2)当λ=1时
(a1,a2,a3,b) =
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
-->
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
此时方程组有无穷多解, 故b可以由a1,a2,a3线性表示，且表达式不唯一

(3)当λ=-2时
(a1,a2,a3,b) =
-2 1 1 1
1 -2 1 1
1 1 -2 1

r3+r1+r2
-2 1 1 1
1 -2 1 1
0 0 0 3

此时方程组无解, 故b不能由a1,a2,a3线性表示

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