Question

求级数∑(n从1到正无穷)[(a^n)/n+(b^n)/n]*x^n的收敛域。注（a>0,b>0)

答案上写的是：R=1/a (a>=b) 1/b(a<b)
不懂是怎么算出来的。

Answer 1

就根据定义来
an=(a^n)/n+(b^n)/n
=(a^n+b^n)/n
lim(n->∞) │a(n+1)/an│
=lim(n->∞) │[a^(n+1)+b^(n+1)]/(a^n+b^n)│
=lim(n->∞) │[a+(b/a)^(n+1)]/[1+(b/a)^n]
若b<a
b/a<1
=lim(n->∞) │a│
R=1/a
同理
若b>a时，上下同除b^n。
b=a时，那更简单

追问

哦，后面打错了，应该改为b^n/(n^2).另外根据定义R=lim(n->∞) 1/(n√an)。外面还要开n次根号啊。

追答

你是按根值法做的 不要用这个方法
用比较法
根值法虽然在有a^n因子时可以用，不过使用条件是极限存在

追问

但是这个级数并没有缺无限项。根据陈文灯的复习全书上讲的，在缺无限项的情况下采用比较法，缺有限项的情况下用根值法。那你能给我讲下在什么情况下用什么样的方法吗？谢谢了。

追答

晕，其实缺项的话就是直接用Un算
不缺就按an算
没那么复杂
一般情况下都可以
特殊的情况一般有：
Un中含n!,a^n用比值
含n^n,a^n用根值
用根值有两个重要极限要知道：n->∞时a^(1/n)->1 n^(1/n)->1

追问

哦，懂了。十分感谢你！