Question

高手帮帮忙，求证一个数学题目！答案尽量详细O(∩_∩)O谢谢！

设a b是非负实数，求证 ：a的三次方 + b的三次方 大于等于 根号ab 乘 以（a的平方 + b的平方）.

Answer 1

1) 用重要不等式
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
因为 a+b≧2√ab ab≤（a²+b² ）/2 (a=b时两式等号都成立)
所以 a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)≧2√ab（a²+b² ）/2 =√ab（a²+b² ） (a=b时等号成立)
2）作差
a³+b³-√ab（a²+b² ）=去括号，第一三项，二四项分别合并，再总合并。一个很基础的因式分解
=(√a^5-√b^5)(√a-√b)
当a＞b时， (√a^5-√b^5)>0 ，(√a-√b)>0，得 (√a^5-√b^5)(√a-√b)>0
当a＜b时， (√a^5-√b^5)<0 ，(√a-√b)<0，得 (√a^5-√b^5)(√a-√b)>0
当a=b时，得 (√a^5-√b^5)(√a-√b)=0
所以 a³+b³-√ab（a²+b² ）≧0
当然，二楼代换了√a=m,√b=n,这样因式分解会更简单一些
一楼证明的是这个不等式 a3+b3- （a2+b2）≧0，应该是从别处粘的吧，但解题思路是一样的

追问

非常感谢O(∩_∩)O！！ 请问：a+b≧2√ab 的使用条件 记得是a和b都大于零，而题中说 a b都是非负实数，这样的话，方法1）还能用吗？ 请多多指教。

追答

不要迷信课本，
我记得高中课本a+b≧2√ab 的使用条件是a和b都大于零，
但a和b都大于等于零，也没错呀：
a+b-2√ab =(√a-√b)²
如果a≧0,b≧0（这个条件是让 √a和√b 有意义）
那么a+b-2√ab =(√a-√b)²≧0
均值不等式都是作差证明出来的

Answer 2

（方法一）证明：a3+b3- （a2+b2）=a2 （ - ）+b2 （ - ）
=（ - ）[（ - ]①
= [ + （ ）+ ）+ + ]
因为实数a、b≥0， ≥0，
[ + （ ）+ ）+ + ]≥0
所以，上式①≥0．
即有： ．
（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得明：
a3+b3- （a2+b2）=a2 （ - ）+b2 （ - ）
=（ - ）[（ - ]①
当a＞b时， ＞ ，从而 - ＞0，得 （ - ）[（ - ]≥0；
当 当a＜b时， ＜ ，从而 - ＜0，得（ - ）[（ - ]≥0；
所以， ．点评：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力

追问

O(∩_∩)O谢谢....但是括号里面的是什么？ 看不清晰，麻烦你写详尽点好吗？

Answer 3

设根号下a为m,根号下b为n进行代换，然后移项，最后即证明(m的五次方-n的五次方）*（m-n)大于零，无论m，n的大小关系如何，上式明显成立