Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=a/x(a>0)，设F(x)=f(x)+g(x) 求F(x)的单调区间

已知函数f(x)=lnx, g(x)=a/x(a>0), 设F(x)=f(x)+g(x)
(1)求F(x)的单调区间
(2)若以y=F(x), x属于(0,3]图像上任意一点P(x0,y0)为切点的切线斜率k≤1/2恒成立,求实数a的最小值
(3)是否存在数学m，使得函数y=g[2a/(x^2+1)]+m-1的图像与y=f(1+x^2)的图像恰好有四个不同的交点？0若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由。

Answer 1

1. F(x)=f(x)+g(x)=lnx +a/x (a>0)
F'(x)=1/x - a/(x^2)=(x-a)/(x^2)
令F'(x)=0 则x=a,故F(x)在（0，a）上递减，在（a，+∞）递增。

2.(谢谢2楼提醒)
由题可得F'(x)=1/x - a/(x^2)=k≤1/2 在(0,3]上恒成立，用分离系数法
移项同分之类得 a≥-(x^2)/2 + x=-0.5x(x-2) （因式分解）
由于a≥-(x^2)/2 + x=-0.5x(x-2) 对于x∈(0,3] 恒成立而根据二次函数的特点x=1处取最大值，故由于a≥-(x^2)/2 + x=-0.5x(x-2) 对于x∈(0,3] 恒成立时a≥-0.5*1*（-1）= 0.5
得a的最小值为0.5

3.存在。
y=g[2a/(x^2+1)]+m-1的图像与y=f(1+x^2)的图像恰好有四个不同的交点则
g[2a/(x^2+1)]+m-1=f(1+x^2)有四个不同根
即(x^2+1)/2 + m-1=ln(x^2 +1)有四个不同根 为了方便，这里先换元 令c=x^2 +1≥1
设u（c）=lnc - c/2 （c≥1） 则问题转化为y=u（c）与y=m-1 的图像是否在c＞1时有两个不同交点
（这样才能使x有4个根）
求导u'（c）=1/c -1/2 =(2-c)/(2c) 令u'（c）=0则c=1
画图观察则u（c）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减
u（1）= -1/2 u（2）=ln2 -1
故只要 u（1）＜（m-1）＜u（2） 也即 -1/2＜（m-1）＜ln2-1 即 1/2＜m＜ln2
即可满足y=u（c）与y=m-1 的图像在c＞1时有两个不同交点（这样才能使x有4个根）
所以m的取值范围是1/2＜m＜ln2

打得匆忙，如有错误可以修正，但基本思路是这样，多做点题，你也能行的

Answer 2

关于第二问ls回答有误
a≥-(x^2)/2 + x=-0.5x(x-2)
x=1处取最大值，
∴a的最小值为0.5