Question

已知f(x)=x+a/x^2+bx+1是奇函数 （1）求a,b的值 （2）求f(x)的单调区间，并证明

Answer 1

储备知识：
1）奇函数：
设函数y=f（x）的定义域为D，D为关于原点对称的数集，如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数

2）导数：
一般地，假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0－a ，x0 +a)内有定义;
当自变量的增量Δx=x－x0，Δx→0时函数增量Δy=f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的（或变化率).

若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数。
函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0[x0，f（x0）] 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则：设y=f(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a，b）内，f'（x）<0，则f（x）在这个区间是单调减小的。

求导数的基本公式为：y’=f’(x)=lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x)]/△x
比如，f(x)=x/(x²+1)的导数为
f’(x)=[f(x+a)—f(x)]/a 【此处a就是△x】
=【(x+a)/[(x+a)²+1]-x/(x²+1)】/a
则[f(x+a)—f(x)]
=【(x+a)(x²+1)-x[(x+a)²+1]】 /(x²+1)[(x+a)²+1]
=【-ax²-a²x+a】/【(x²+1)[(x+a)²+1]】
所以[f(x+a)—f(x)]/a
=(-x²-ax+1)/ 【(x²+1)[(x+a)²+1]】
所以当a→0时
f’(x)=(1-x²)/(x²+1)²

那么很显然当f’(x)≤0时，即x取值范围（-∞，-1]∪[1，+∞）, f(x)=x/(x²+1)为减函数
当f’(x)＞0时，即x取值范围（-1，1）, f(x)=x/(x²+1)为增函数

回到你的题目，
解：
1）因为f(x)=(x+a)/(x²+bx+1)是奇函数
所以在其定义域内取k，则必有
f(k)=-f(-k)
(k+a)/(k²+kb+1)=-(-k+a)/(k²-kb+1)
-(k+a)(k²-kb+1)=(-k+a)(k²+kb+1)
-k³+bk²-k-ak²+abk-a=-k³+ak²-k-bk²+abk+a
(a-b)k²+a=0
由于k可任意取值，所以要使等式恒成立
必须a-b=0，且a=0，即a=b=0
所以f(x)=x)/(x²+1)
经检验，函数定义域为R也关于原点对称。

2）由上面导数的知识可知，
在区间（-∞，-1]∪[1，+∞）f(x)=x/(x²+1)为减函数
在区间（-1，1）, f(x)=x/(x²+1)为增函数

设x1，x2是区间（-∞，-1]∪[1，+∞）的两个实数，且x2＞x1
则f (x2)-f(x1)
=[x2/(x2²+1)]-[x1/(x1²+1)]
=【x2(x1²+1)-x1(x2²+1)】/(x1²+1)(x2²+1)
=【x1x2(x1-x2)-(x1-x2)】/(x1²+1)(x2²+1)
=(x1x2-1)(x1-x2)/ (x1²+1)(x2²+1)
因为x2＞x1，x1、x2x1，x2是区间（-∞，-1]∪[1，+∞）的两个实数
所以x1x2-1＞0，x1-x2＜0，x1²+1＞0，x2²+1＞0
所以f (x2)-f(x1)＜0
即f(x2)＜f(x1)
所以函数f(x)=x/(x²+1)在区间（-∞，-1]∪[1，+∞）上是减函数

同理，可证出当x1，x2是区间（-1，1）的两个实数，且x2＞x1时
f (x2)-f(x1)= (x1x2-1)(x1-x2)/ (x1²+1)(x2²+1)＞0
即f(x2)＞f(x1)
所以函数f(x)=x/(x²+1)在区间（-1，1）上是增函数

【当然，我们也可以算出f(x)=x/(x²+1)的值域
设g(x)=1/f(x)=x+(1/x)，为对勾函数，值域就是（﹣∞，-2）∪（2，﹢∞）
所以f(x)值域（-1/2，1/2）】

【希望对你有帮助】